एक इंटीग्रल की सीमा ढूँढना: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

मान लीजिए $ एफ: [ए, बी] \ to \ mathbb {R} $ निरंतर है। निर्धारित करें कि निम्न सीमा मौजूद है या नहीं

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx। $$

$ F (x) $ और $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ निरंतर हैं, इसलिए उनका उत्पाद रिमैन अभिन्न अंग है। हालांकि $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ मौजूद नहीं है, इसलिए यह समान रूप से अभिसरण नहीं है और हम अभिन्न अंग के भीतर सीमा को पार नहीं कर सकते हैं। यह भी डिनी प्रमेय की शर्तों में संतुष्ट नहीं है। मुझे नहीं पता कि इस समस्या के लिए वैध तर्क कैसे बनाया जाए, लेकिन मुझे लगता है कि मैंने जो कहा है, वह सीमा मौजूद नहीं है। मैं किसी भी मदद की सराहना करता हूं।

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

रिमेंन-लेबेसेगु लेम्मा । ध्यान दें कि $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $।

2 comments
Parisina 07/31/2017
धन्यवाद, मुझे लगता है, मैं इसे अभी पूरा कर सकता हूं
Teepeemm 07/31/2017
यह समस्या के मुकाबले ज्यादा उन्नत प्रतीत होता है।

Sangchul Lee 07/31/2017.

इसे हल करने का थोड़ा अलग तरीका निम्नलिखित अवलोकन का उपयोग करना है।

Proposition. यदि $ एफ: [ए, बी] \ to \ mathbb {R} $ निरंतर है, $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ निरंतर और $ L $ -periodic है, तो

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, डीएक्स \ दाएं) \ left (\ frac {1} {एल} \ int_ {0} ^ {एल} जी (एक्स) \, डीएक्स \ दाएं)। $$

  1. इस कथन को मानते हुए, उत्तर $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ $ 2 \ pi $ -opiodic के तुरंत बाद आता है और

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. अंतर्ज्ञान बहुत स्पष्ट है: यदि $ n $ बहुत बड़ा है, तो subinterval $ [c, c + \ frac {एल} {n}] \ subset [a, b] $ हमारे पास है

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {एल} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {एल} { एन}} जी (एनएक्स) \, डीएक्स = एफ (सी) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {एल} जी (एक्स) \, डीएक्स। $$

    तो विवरण अनदेखा, हम होगा

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / l \ rfloor} f \ left (ए + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {एल} जी (x) \, dx \ right) $$

    और $ n \ $ \ infty $ के रूप में सीमा लेते हुए, दाएं हाथ की तरफ वांछित मूल्य में परिवर्तित होता है। विवरण भरना काफी नियमित है।

  3. निरंतरता पर धारणा सरल प्रमाण के लिए एक तकनीकी सेटिंग है, और आप अधिक प्रयास करके कुछ डिग्री तक उन्हें आराम कर सकते हैं।


Michael Hartley 07/31/2017.

आप $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ निष्पादित नहीं कर सकते हैं bg (x, n) dx $$ केवल इसलिए नहीं है क्योंकि $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ नहीं करता है। उदाहरण के लिए, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ मौजूद नहीं है, लेकिन $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ अभिन्न अंग सभी $ n $ के लिए शून्य है।

मुझे डर है कि इस बिंदु पर मेरी उपयोगिता खत्म हो जाती है, हालांकि मुझे लगता है कि सीमा मौजूद है: यदि आपको कुछ और नहीं है, तो कुछ ईपीएसलॉन-डेल्टा तर्क को अभिन्न अंग को अंतराल को व्यक्त करने के लिए लंबाई के अंतराल पर एकीकृत करने के लिए सक्षम होना चाहिए $ \ frac {2 \ pi} {n} $। समस्या से निपटने के लिए यह एक बहुत बुरा तरीका हो सकता है।

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