कार्य जो हमेशा उनके डेरिवेटिव से कम होते हैं

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

मैं सोच रहा था कि क्या ऐसे फ़ंक्शन हैं जिनके लिए $$ f '(x)> f (x) $$ सभी $ x $ के लिए हैं। केवल उदाहरण जो मैं सोच सकता था $ e ^ x - c $ और बस $ - $ $ जिसमें $ c> 0 $ था। साथ ही, क्या ऐसे कार्य में कोई महत्व है जो हमेशा व्युत्पन्न से कम होता है?


संपादित करें: सभी उत्तरों के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। ऐसा प्रतीत होता है कि लागू होने वाले लगभग सभी कार्य प्रकृति द्वारा घातीय हैं ... क्या 1 / x जैसे अधिक उदाहरण हैं?

फिर इन कार्यों के किसी भी अनुप्रयोग / भौतिक अभिव्यक्तियां हैं? [उदाहरण के लिए एक ऐसी वस्तु वाला एक वस्तु जो हमेशा अपनी स्थिति / त्वरण से अधिक होती है वह हमेशा इसकी गति से अधिक होती है]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
मेरे सिर के ऊपर से, नीचे आधे विमान में किसी भी बाध्य, monotonically बढ़ते समारोह।
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixion का जवाब पूर्ण, सबसे सामान्य समाधान देता है (हालांकि समाधान के कुछ विशेष परिवार अच्छे रूपों में लिखने योग्य हो सकते हैं), और स्वीकार किया जाना चाहिए।
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! लेकिन शीर्षक को ठीक करें, "इसकी" को "उनके" में बदल दें। जिस तरह से शीर्षक लिखा गया है, एक पल के लिए ऐसा लगता है कि आप सभी आदेशों के डेरिवेटिव पर विचार कर रहे थे। और अब मैं इस तरफ सवाल के बारे में उत्सुक हूँ, हाहा!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

यदि $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ \ mathbb {R} $ में है, तो हम $ f (x) = y' (x) -y (x) $ को परिभाषित कर सकते हैं जो सकारात्मक है $ x $। मान लीजिए कि $ y '(x) $ निरंतर कार्य है ताकि $ f (x) $ निरंतर भी हो। अब इस तत्व के साथ हम अंतर समीकरण $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ बना सकते हैं और इसके समाधान इस प्रकार दिए गए हैं: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (ग + \ int_ {x_0} ^ {x} ई ^ {-} का च (रों) डी एस \ right) $$

फिर इन कार्यों के किसी भी अनुप्रयोग / भौतिक अभिव्यक्तियां हैं? [उदाहरण के लिए एक ऐसी वस्तु वाला एक वस्तु जो हमेशा अपनी स्थिति / त्वरण से अधिक होती है वह हमेशा इसकी गति से अधिक होती है]

मुझे नहीं पता कि इस दिलचस्प संपत्ति का उपयोग क्या है, लेकिन मुझे यकीन है कि आप स्थिति के साथ वेग की तुलना नहीं कर सकते क्योंकि वे समरूप मात्रा नहीं हैं।


Aidan Connelly 07/29/2017.

$ F (x)> 0 $, $ f मानना: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ एफ '(एक्स)> एफ (एक्स) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

तो आप इस प्रकार के फ़ंक्शन में $ g $ (g) (x)> 1 $ किसी भी फ़ंक्शन को एक्सपोनेंशियल ले कर बदल सकते हैं:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ तात्पर्य \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ तात्पर्य \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> ई ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
आप शुरुआत में $ f (x)> 0 $ मानते हैं
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: फिर वह किसी भी दिए गए $ f $ के लिए $ प्रारंभिक बिंदु के रूप में $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ का उपयोग कर सकता था। इस तरह से हमेशा $ \ hat {f} (x)> 0 $ है।
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion का जवाब $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ को किसी भी फ़ंक्शन के लिए हर जगह-पॉजिटिव होने की अनुमति देकर पूर्ण सामान्यीकरण देता है।
Adayah 07/29/2017
@RobinSunders नहीं, वह $ f '(x) $ की निरंतरता मानता है।
Robin Saunders 07/29/2017
मुझे पूरा यकीन है कि वास्तव में स्थिति की आवश्यकता नहीं है।

Peter 07/28/2017.

एक साधारण उदाहरण $ एफ (x) = - x ^ 2-3 $ है


dromastyx 07/28/2017.

फ़ंक्शन $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $ ढूंढने के लिए एक और रोचक समस्या है, जिसका चित्र $ \ mathbb {R} $ है और $ f '(x)> f (x) $ को संतुष्ट करता है सभी $ x \ \ mathbb {R} $ के लिए। उनमें से एक कार्य है

$$ \ सिंह (x), $$

इसलिये

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ सभी $ x \ \ mathbb {R} $ के लिए $$।


M. Winter 07/28/2017.

$ F (x) = e ^ {\ alpha x} $ लें। फिर $ \ alpha> 1 $ के लिए हमारे पास $ f '(x)> f (x) $ और $ \ alpha <1 $ के लिए हमारे पास $ f' (x) <f (x) $ है।


steven gregory 07/28/2017.

इसके बारे में यदि आप इसे एक अंतर समीकरण के रूप में देखते हैं। कहना

$ y '= y + 1 $

जिसमें समाधान $ y = सीई ^ x -1 $ है

या $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

जिसमें समाधान $ y = सीई ^ एक्स - (x ^ 2 + 2x + 3) $ है

या $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

जिसमें समाधान $ y = सीई ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $ है

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion का जवाब किसी भी $ f (x)> 0 $ के लिए $ y '(x) = y (x) + f (x) $ को सामान्यीकृत करता है।
steven gregory 07/29/2017
@RobinSunders - क्या मुझे अपना जवाब हटाना चाहिए?
Robin Saunders 07/30/2017
मुझे स्टैक एक्सचेंज शिष्टाचार के बारे में बहुत कुछ पता नहीं है, लेकिन मेरा अनुमान यह होगा कि आपने अपना जवाब पहले पोस्ट किया था और इसमें विशिष्ट उदाहरण हैं जो दूसरे उत्तर में नहीं हैं, इसे छोड़ना ठीक होना चाहिए।

Eric Towers 07/30/2017.

एक very सरल उदाहरण $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $ है। आपके संपादन के लिए प्रासंगिक: यह घातीय नहीं है।

अन्य उदाहरण जो तुरंत घातीय नहीं हैं:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ हर जगह नकारात्मक है और हर जगह कड़ाई से एकान्त रूप से बढ़ रहा है, इसलिए हर जगह इसके व्युत्पन्न से कम है।
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ भी हर जगह नकारात्मक है और हर जगह कड़ाई से monotonically बढ़ रहा है। (ये बहुत समान हैं, क्योंकि उन्हें (मानक / सामान्यीकृत) कौची और गॉसियन वितरण के सीडीएफ की प्रतियां स्थानांतरित की जाती हैं।)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ एक हाइपरबोला की निचली शाखा है जिसमें $ x $ -axis और रेखा $ y = x $ है asymptotes। यह हर जगह नकारात्मक है और हर जगह कड़ाई से monotonically बढ़ रहा है।

Thiago Nascimento 07/28/2017.

देखें, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ \ \ 0, \ infty] $ में

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
अधिक आम तौर पर, सकारात्मक व्युत्पन्न के साथ कोई नकारात्मक कार्य ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

एक और सरल उदाहरण $ एफ (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $ होगा


Adayah 07/29/2017.

असमानता $$ f '(x)> f (x) $$ $$ \ left के बराबर है [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0। $$

तो सामान्य समाधान $ g (x) $ 0 $ (x) $ 0 के साथ किसी भी अलग-अलग फ़ंक्शन $ g (x) $ को लेना और $ f (x) = g (x) e ^ x $ डाल देना है।

ध्यान दें कि भिन्नता को छोड़कर $ एफ $ के बारे में कुछ भी नहीं माना जाता है, जो पहले स्थान पर सवाल पूछना आवश्यक है।


HelloGoodbye 07/30/2017.

किसी भी अंतर समारोह के लिए $ f $ जिसके लिए $ f (x) $ और $ f '(x) $ सीमित सीमा तक सीमित हैं, $ f' (x) - f (x) $ भी सीमित सीमा तक ही सीमित है, तो एक $ सी $ है जिसके लिए $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $। इसलिए, एक फ़ंक्शन $ g (x) = f (x) - c $ का गठन किया जा सकता है जिसके लिए $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ या $ g' (x )> जी (एक्स) \ \ forall \ x $।

उदाहरण के लिए, यह कई अंतर आवधिक कार्यों के लिए है।

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
अंतिम बयान गलत है, क्योंकि हर अलग-अलग आवधिक कार्य व्युत्पन्न नहीं है।
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah आप सही हैं। मैं आवधिक कार्यों पर विचार कर रहा था जो $ \ mathbb {R} $ में हर बिंदु पर अलग-अलग थे, लेकिन मुझे एहसास हुआ कि एक कार्य को केवल अपने डोमेन के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग माना जा सकता है। मैंने अपना जवाब अपडेट कर लिया है।
Adayah 07/30/2017
मेरा मतलब है, एक फ़ंक्शन $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ प्रत्येक बिंदु $ \ \ \ mathbb {R} $ में आवधिक और भिन्न हो सकता है और अभी भी असंबद्ध व्युत्पन्न है।
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah क्या आपके पास इस तरह के एक समारोह का कोई उदाहरण है?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah मेरा मतलब है, अगर एक समारोह $ एफ $ हर जगह अलग-अलग है, तो इसके व्युत्पन्न $ f '$ हर जगह मौजूद होना चाहिए, और $ f' $ निरंतर होना चाहिए (क्योंकि यदि इसमें कोई असंतोष है, तो $ f '$ उस बिंदु पर मौजूद नहीं हो सकता )। इससे $ एफ '$ के लिए असंभव हो जाता है, है ना?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

माइक आपके अतिरिक्त प्रश्न का उत्तर "क्या इसके भौतिक उदाहरण हैं?" dromastyx द्वारा सक्षम है।

उनका उदाहरण हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस दिखाता है जो सटीक रूप से 'solitons' की भौतिक घटना का वर्णन करता है।

सोलिटन्स सूरज फ्लेरेस, सुनामी आदि जैसे अकेले तरंगें हैं। ज्ञात समीकरणों में छिपी ऐसी लहरों को खोजने का एक उदाहरण है:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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